中学2018级高二上学期期末考试数学科试卷—附答案_
中学2018级高二上学期期末考试数学科试卷 命题：
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一、单项选择题 (本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．) 1．设集合则（ ） A． B． C． D． 2．若向量＝(1，－2)，＝(x,2)，且⊥，则x＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 3．若幂函数fx的图象过点3,33，则fx的解析式为（ ）. A．fx=x-1 B．fx=x-12 C．fx=x9 D．fx=x227 4. 如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1000个点，其中落入黑色部分的有498个点，据此可估计黑色部分的面积约为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 5．命题“x=π”是“sin x=0”的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6. 函数f(x)=ex+1ex-1⋅cosx 的图象大致是（ ） A B C D 7. 已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的体积是（ ） A. 85 B. 853 C. 8 D. 20+25 8. 已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P， 使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为（ ） A. (0,22] B. [22,1) C. (0,32] D. [32,1) 9. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，．．．，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）．将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方．记阶幻方的一条对角线上数的和为 (如：在3阶幻方中，)，则（ ） A．1020 B．1010 C．510 D．505 10. 已知F1、F2分别为双曲线的左右焦点，左右顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上情况均有可能 二、多项选择题 （本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） 11. 空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
AQI指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 >300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某市12月1日-20日AQI指数变化趋势：
下列叙述正确的是（ ） A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100 B. 这20天中的中度污染及以上的天数占14 C. 该市12月的前半个月的空气质量越来越好 D. 总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 12. 已知定义域为R的奇函数fx，满足fx=22x-3,x>2x2-2x+2,0<x≤2,下列叙述正确的是（ ） A.存在实数k，使关于的方程fx=kx有个不相等的实数根 B.当-1<x1<x2<1时，恒有fx1>fx2 C.若当时，fx的最小值为1，则 D.若关于的方程fx=32和fx=m的所有实数根之和为零，则m=-32 三、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分．） 13.设直线与圆相交于两点，则___________. 14.若直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）的每个顶点都在球的表面上， 若,则球的表面积等于________. 15.如图，P1是一块半径为2a的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为a的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3、P4、、Pn、，记第n块纸板Pn的面积为Sn，则（1）S3=_______,（2）如果对∀n∈N*,Sn>2020π3 恒成立，那么a的取值范围是____________. （本题第一个空2分，第二个空3分.） 16.已知函数fx=cosωx+φω>0,φ≤π2，当x=-π4时f(x)取得最小值，当x=π4时f(x)取得最大值， 且f(x)在区间(π18,5π36)上单调．则当ω取最大值时φ的值为______ ． 四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分） 已知数列an是等差数列，满足a2=5，a4=9，数列bn+an是公比为3的等比数列，且b1=3． （Ⅰ）求数列an和bn的通项公式；
（Ⅱ）求数列bn的前n项和Sn． 18．（本小题满分12分） 在ΔABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a-22c=bcosC． （Ⅰ）求内角B的值；
（Ⅱ）若a=4，cosC=7210，求ΔABC的面积． 19. （本小题满分12分） 如图，△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把△AEF折起， 使点A到达点P的位置，且PB=BE． （Ⅰ）证明：BC⊥平面PBE；
（Ⅱ）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值． 20. （本小题满分12分） 已知圆C的圆心在轴的正半轴上，且轴和直线均与圆相切. （Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设点P（0,1），若直线与圆相交于M,N两点，且∠MPN=90°，求的值. 21. （本小题满分12分） 已知函数 Ⅰ当时，求的值域；
Ⅱ若方程有解，求实数a的取值范围． 22. （本小题满分12分） 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，且抛物线y2=43x的焦点恰好是椭圆C的一个焦点. （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D0,3作直线与椭圆C交于A，B两点，点N满足ON=OA+OB（O为坐标原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线的方程. 中学2018级高二上学期期末考试数学科参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B D A C B B D B ABD AC 13.__ 3__; 14.____; 15._ 11π8a2; 505，+∞___; 16.___-π2___. 17. 解：解：（1）设等差数列的公差为d． 由a2=5，a4=9，得9=5+2d，解得d=2． ………………………………1分 所以an=a2+(n-2)d=5+2(n-2)=2n+1． ………………………………2分 由于bn+an是公比为3的等比数列，且b1+a1=6， ………………………………3分 所以bn+an=(b1+a1)⋅3n-1=6×3n-1． ………………………………4分 从而bn=6×3n-1-an=6×3n-1-(2n+1),n∈N*． ………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）bn=6×3n-1-(2n+1),n∈N*． 所以Sn=61+3+⋯+3n-1-3+5+⋯+2n+1 =6(1-3n)1-3-n[3+(2n+1)]2=3n+1-3-n2-2n．……10分 18. 解：（Ⅰ）由余弦定理得a-22c=b⋅a2+b2-c22ab …………………………1分 化简得b2=a2+c2-2ac， ∴cosB=c2+a2-b22ac=22. …………………………3分 ∵B∈0,π，∴B=π4. ……………………………5分 （Ⅱ）由cosC=7210，得sinC=1-72102=210， ……………………………6分 在ΔABC中，∵sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC=22×7210+22×210=45，……8分 由正弦定理bsinB=asinA，得b=asinA⋅sinB=445×22=522， ……………………………10分 SΔABC=12absinC=12×4×522×210=1. ………………………………12分 19. 解：（Ⅰ）证明：∵E，F分别为AB，AC边的中点， ∴EF//BC， …………………………1分 ∵∠ABC=90°， ∴EF⊥BE，EF⊥PE， …………………………3分 又∵BE∩PE=E，BE、PE⊂平面PBE， …………………………4分 ∴EF⊥平面PBE，∴BC⊥平面PBE；
…………………………5分 （Ⅱ）解：取BE的中点O，连接PO， 由(1)知BC⊥平面PBE，BC⊂平面BCFE， ∴平面PBE⊥平面BCFE， ∵PB=BE=PE， ∴PO⊥BE， 又∵PO⊂平面PBE，平面PBE∩平面BCFE=BE， ∴PO⊥平面BCFE， 过O作OM//BC交CF于M，则OB，OM，OP两两相互垂直. …………………………6分 分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则P(0,0,3)，C(1,4,0)，F (-1,2,0)． PC=(1,4,-3)，PF=(-1,2,-3)， 设平面PCF的法向量为m=(x,y,z)， 由m⋅PC=x+4y-3z=0m⋅PF=-x+2y-3z=0，取y=1，得m=(-1,1,3)，………8分 由图可知n=(0,1,0)为平面PBE的一个法向量， ………………………10分 ∴cos〈m,n〉=m⋅n|m||n|=-1×0+1×1+3×0(-1)2+12+(3)2=55， ………………………11分 ∴平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值55． ……………………12分 20. 解：(1)设圆心（）∴ 圆的半径为，所以 ，解得：
……2分 圆的标准方程是：
………………………4分 (2)设 . ， 消去得：
……………………………6分 △=，得：
……………………………7分 ， ……………………………9分 因为∠MPN=90°，所以 PM⋅PN=0 ……………………………10分 又PM=x1,y1-1，PNx2,y2-1 所以x1x2+y1y2-y1+y2+1=m2+m-1=0 ……………………………11分 解得m=-1-52或m=-1+52. ……………………………12分 21. 解：（Ⅰ）当时， ……………………………1分 令，令， ……………………………2分 二次函数ht的图像开口向下，对称轴是t=12， 所以二次函数ht在-1，12上单调递增，在12，1上单调递减. …………………………3分 又h12=98，h-1=0，h1=1，所以， …………………………4分 所以的值域为 ……………………………5分 （Ⅱ）法一：
………………………6分 令，令， …………………………7分 ①当，即时，，且，解得 ……………………8分 ②，即时，，无解 ………………………9分 ③当，即时，且，解得 …………………10分 综上所述 或 …………………………12分 法二：
…………………………6分 令， …………………………7分 当，不合题意，∴ ………………………8分 ∴， ………………………9分 ∵在，递减 ………………………10分 ∴或 ………………………11分 ∴或 ………………………12分 22. 解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c， ∵离心率为32，∴3a2=4c2， 又点是抛物线y2=43x的焦点，∴c2=3， ∴椭圆C的方程为x24+y2=1. ………………………………4分 （Ⅱ）∵ON=OA+OB，∴四边形OANB为平行四边形. 当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；
………………………………5分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+3， 由y=kx+3x24+y2=1得1+4k2x2+24kx+32=0. 由∆=24k2-1281+4k2>0 得k2>2. …………………………6分 设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=-24k1+4k2，x1x2=321+4k2， …………………………7分 ∵S∆OAB=12ODx1-x2=32x1-x2， …………………………8分 ∴S四边形OANB=2S∆OAB=3x1-x2=3x1+x22-4x1x2 =3-24k1+4k22-4×321+4k2=24k2-21+4k22， …………………………9分 令k2-2=t，则k2=t+2（t>0）， ∴S四边形OANB=24t4t+92=24172+16t+81t≤241144=2， …………………………11分 当且仅当16t=81t，即t=94即k2=174时取等号， ∴当k=±172时，平行四边形OANB的面积最大值为2. 此时直线的方程为y=±172x+3. …………………………12分