【2019-2020学年高中学业水平数学模拟测试卷(二)】 2020湖南学业水平数学
高中学业水平考试模拟测试卷(二) (时间：90分钟 满分100分) 一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝( ) A．{－1，0，1，2} B．{－1，0，1} C．{－1，0，2} D．{0，1} 解析：因为集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}, 所以M∪N＝{－1，0，1，2}． 答案：A 2．“sin A＝”是“A＝30°”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为sin 30°＝，所以“sin A＝”是“A＝30°”的必要条件；
150°，390°等角的正弦值也是， 故“sin A＝”不是“A＝30°”的充分条件．故选B. 答案：B 3．已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a⊥b，则y的值为( ) A．－12 B．－3 C．3 D．12 解析：因为a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a⊥b, 所以a·b＝0，即4×6＋2y＝0， 解得y＝－12.故选A. 答案：A 4．若a<b<0，则下列不等式：①|a|>|b|；
②>；
③＋>2；
④a2<b2中，正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：对于①，根据不等式的性质，可知若a<b<0，则|a|>|b|，故正确；
对于②，若a<b<0，两边同除以ab，则<，即<，故正确；
对于③，若a<b<0，则>0，>0，根据基本不等式即可得到＋>2，故正确；
对于④，若a<b<0，则a2>b2，故不正确．故选C. 答案：C 5．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( ) A．－ B．－ C. D. 解析：因为α是第二象限角，sin α＝， 所以cos α＝－ ＝－. 故选B. 答案：B 6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A．y＝x－2 B．y＝x－1 C．y＝x2－2 D．y＝logx 解析：因为y＝x－1是奇函数，y＝logx不具有奇偶性，故排除B，D；
又函数y＝x2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C.故选A. 答案：A 7．不等式组表示的平面区域是( ) 解析：由题意可知，(0，0)在x－3y＋6＝0的下方，满足x－3y＋6≥0；
(0，0)在直线x－y＋2＝0的下方，不满足x－y＋2<0. 故选B. 答案：B 8．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下， 组距 (10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60] (60，70] 频数 2 3 4 5 4 2 则样本在(10，50]上的频率为( ) A. B. C. D. 解析：根据题意，样本在(10，50]上的频数为2＋3＋4＋5＝14, 所求的频率为P＝＝.故选D. 答案：D 9．cos 40°sin 80°＋sin 40°sin 10°＝( ) A. B．－ C．cos 50° D. 解析：cos 40°sin 80°＋sin 40°sin 10°＝cos 40°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝cos(40°－10°)＝. 答案：D 10．函数y＝log2(x2－3x＋2)的递减区间是( ) A．(－∞，1) B．(2，＋∞) C. D. 解析：由x2－3x＋2>0，得x<1或x>2，又y＝log2(x2－3x＋2)的底数是2，所以在(－∞，1)上递减．故选A. 答案：A 11．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为( ) A. B. C. D. 解析：记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a 、b、c、d，则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab、ac、ad、bc、bd、 cd共6种，符合条件的情况为ab共1种，故概率为，选D. 答案：D 12．将函数y＝sin 的图象沿x轴向左平移m(m＞0)个单位后，得到一个奇函数的图象，则m的最小值为( ) A. B. C. D. 解析：y＝sin的图象向左平移m个单位长度后得到y＝sin， 因为y＝sin为奇函数， 所以sin＝0. 所以2m＋＝kπ，k∈Z， 即有m＝－，k∈Z，所以正数m的最小值为. 答案：A 13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( ) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：由双曲线的离心率为， 则e＝＝，即c＝a, b＝＝＝a， 由双曲线的渐近线方程为y＝±x, 得其渐近线方程为y＝±x.故选D. 答案：D 14．函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间是( ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：函数f(x)＝log2x＋x－2的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(1)＝0＋1－2<0，f(2)＝1＋2－2>0， 故函数f(x)＝log2x＋x－2的零点所在的区间是(1，2)．故选B. 答案：B 15．已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( ) A．2 B．－2 C．3 D．－3 解析：以A为原点，AD所在直线为x轴，与AD垂直的直线为y轴建立直角坐标系， 那么＝(1，0)，＝(1，2)，＝(2，－2)，那么解得λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝2.故选A. 答案：A 二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．) 16．函数y＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________． 解析：当x－1＝0，即x＝1时，y＝2.所以函数y＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，2)． 答案：(1，2) 17．等差数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6＝________． 解析：由等差数列的通项公式可得，a3＋a4＝2a1＋5d＝9，a1＋d＝3，所以a1＝2，d＝1，所以a1a6＝2×7＝14. 答案：14 18．某学院A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院A专业有380名学生，B专业有420名学生，则该学院C专业应抽取________名学生． 解析：抽样比为1∶10，而C学院的学生有1 200－380－420＝400(名)，所以按抽样比抽取40名． 答案：40 19．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则∠A的度数为________． 解析：根据正弦定理可得，sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A⇔sin(B＋C)＝sin 2A，而sin(B＋C)＝sin A，所以sin A＝sin 2A，所以sin A＝1，所以∠A＝90°. 答案：90° 三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．) 20．已知函数f(x)＝2sin＋a，a为常数． (1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值． 解：(1)f(x)＝2sin＋a. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)当x∈时， 2x－∈， 所以x＝0时，f(x)取得最小值， 即2sin＋a＝－2， 故a＝－1. 21．已知函数f(x)＝1＋－xα(α∈R)，且f(3)＝－. (1)求α的值；
(2)求函数f(x)的零点；
(3)判断f(x)在(－∞，0)上的单调性，并给予证明． 解：(1)由f(3)＝－，得1＋－3α＝－，解得α＝1. (2)由(1)，得f(x)＝1＋－x.令f(x)＝0，即1＋－x＝0，也就是＝0，解得x＝.经检验，x＝是1＋－x＝0的根， 所以函数f(x)的零点为. (3)函数f(x)＝1＋－x在(－∞，0)上是减函数．证明如下：
设x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝(x2－x1). 因为x1<x2<0，所以x2－x1>0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)＝1＋－x在(－∞，0)上是减函数．