数学中考难题解析【中考数学综合题集锦(完善版)】
近三年中考数学综合题集锦 一、 知识网络梳理 数学综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以数学综合题的形式出现．解数学综合题一般可分为认真审题、理解题意，探求解题思路，正确解答三个步骤．解数学综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解数学综合题的灵魂，要善于总结解数学综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等，要结合实际问题加以领会与掌握，这是学习解综合题的关键． 题型1方程型综合题 这类题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明． 题型2函数型综合题 函数型综合题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何方程与函数相结合型综合问题，历来是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象及性质、方程的有关理论的综合．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；
点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等． 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此是各地中考的热点题型，压轴题的主要来源，并且长盛不衰，年年有新花样． 题型3几何型综合题 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力． 1． 几何型综合题，常用相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现． 2． 几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧的长度的计算，角、角的三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等． 3． 几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力． 4． 解几何综合题应注意以下几点：
（1） 注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系． （2） 注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化． （3） 注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线添法． （4） 注意灵活地运用数学的思想和方法． 解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的． 二、 知识运用举例 例1（安徽省六安市）已知关的一元二次方程 有实数根． （1）求的取值范围 （2）若两实数根分别为和，且求的值． 分析与解答 本题目主要综合考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用以及代数式的恒等变形等． （1）由题意，△≥0，即≥0．解得． （2）由根与系数的关系，得．∴．∴．∴． 例2（北京市）已知关于的方程有两个不相等的实数根和，并且抛物线与轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁． （1） 求实数的取值范围． （2） 当时，求的值． 分析与解答 本例以一元二次方程为背影，综合考查一元二次方程桶的判别式、桶与系数关系、分式方程的解法以及二次函数的有性质等． （1）一方面，关于的方程有两个不相等的实数根，∴△＝．解之，得．另一方面，抛物线与轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，且开口向上，∴当时，即，解得．综合以上两面，的取值范围是 （2）∵、是关于的方程的两个不相等的实数根，∴．∵，∴，∴．∵，∴，即∴，∴．∴，解得．经检验，都是方程的根．∵舍去，∴． 说明 运用一元二次方程根的差别式时，要注意二次项系数不为零，运用一元二次方程根与系数的关系时，要注意根存在的前提，即要保证△≥0． 例3（重庆市） 如图2－4－18，，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．若AD＝，且AB、AE的长是关于的方程的两个实数根． （1）求⊙O的半径．（2）求CD的长． 分析与解答 本题是一道方程与几何相结合的造型题，综合考查了切割线定理、根与系数的关系、一元二次方程的解法、勾股定理知识． （1）∵AD是⊙O的切线，∴．又，∴．∵AE、AB的长是方程的两个实数根，∴，∴，把代入方程，解得．∴AE＝2，AB＝6． ∴⊙O的半径为 （2）∵CB⊥AB，AB经过圆心O，∴CB切⊙O于点B，∴CD＝CB．在Rt△ABC中，设，由勾股定理得，∴，解得．∴． 例4．（2007四川绵阳）已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）＝（p－2）（p－m）的两个实数根． （1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值． 解：（1） 原方程变为：x2－（m ＋ 2）x ＋ 2m ＝ p2－（m ＋ 2）p ＋ 2m， ∴ x2－p2－（m ＋ 2）x ＋（m ＋ 2）p ＝ 0， （x－p）（x ＋ p）－（m ＋ 2）（x－p）＝ 0， 即 （x－p）（x ＋ p－m－2）＝ 0， ∴ x1 ＝ p， x2 ＝ m ＋ 2－p． （2）∵ 直角三角形的面积为＝ ＝ ＝， ∴ 当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或． 例5．（07茂名市）已知函数的图象与轴的两交点的横坐标分别是，且，求c及，的值． 解：令，即，当方程有两个不相等的实数根时，该函数的图象与x轴有两个交点． 相关链接 ：
若是一元二次方程的两根，则 此时即． 由已知 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴(舍去)． 当时，， 解得． 综上：，为所求． 例6（天津市） 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，． （1）试证明；
（2）证明；
（3）对于二次函数，若自变量取值为，其对应的函数值为，则当时，试比较与的大小． 解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式 即 ∵ 是该方程的两个实数根 ∴ ， 而 ∴ （2） ∵ ∴ 于是，即 ∴ （3）当时，有 ∵ ， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ， ∵ ∴ 于是 ∵ ∴ 由于， ∴ ，即 ∴ 当时，有 例7（贵阳市）如图2－4－20，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求D点的坐标．（2）求一次函数的解析式．（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的的取值范围． 分析与解答 （1）由图2－4－20可得C（0，3）． ∵抛物线是轴对称图形，且抛物线与轴的两个交点为A（－3，0）、B（1，0）， ∴抛物线的对称轴为，D点的坐标为（－2，3）． （2）设一次函数的解析式为，将点D（－2，3）、B（1，0）代入解析式，可得 ，解得． ∴一次函数的解析式为． （3）当时，一次函数的值大于二次函数的值． 说明：本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形结合思想的运用等． 例8（吉林省） 如图2－4－21，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）求△MCB的面积． 分析与解答 第（1）问，已知抛物线上三个点的坐标，利用待定系数法可求出其解析式．第（20问，△MCB不是一个特殊三角形，我们可利用面积分割的方法转化成特殊的面积求解． （1）设抛物线的解析式为，根据题意，得，解之，得． ∴所求抛物线的解析式为． （2）∵C点的坐标为（0，5）．∴OC＝5．令，则，解得．∴B点坐标为（5，0）．∴OB＝5．∵，∴顶点M坐标为（2，9）．过点M用MN⊥AB于点N，则ON＝2，MN＝9． ∴ 说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点．解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积求解． 例9（湖南省娄底市）已知抛物线与轴交于、，与轴交于点C，且、满足条件 （1）求抛物线的解析式；
（2）能否找到直线与抛物线交于P、Q两点，使轴恰好平分△CPQ的面积？求出、所满足的条件． 分析与解答 （1）∵△＝，∴对一切实数，抛物线与轴恒有两个交点，由根与系数的关系得…①，…②．由已知有…③．③－①，得由②得．化简，得．解得，满足．当时，，不满足，∴抛物线的解析式为． （2）如图2－4－22，设存在直线与抛物线交于点P、Q，使轴平分△CPQ的面积，设点P的横坐标为，直线与轴交于点E． ∵，∴，由轴平分△CPQ的面积得点P、Q在轴的两侧，即，∴，由得．又∵、是方程的两根，∴，∴．又直线与抛物线有两个交点，∴当时，直线与抛物线的交点P、Q，使轴能平分△CPQ的面积．故． 说明 本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线．解题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化．例如：二次函数与轴有交点．可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解．点在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等． 例10（桂林市） 已知：如图2－4－23，抛物线经过原点（0，0）和A（－1，5）． （1）求抛物线的解析式． （2）设抛物线与轴的另一个交点为C．以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与轴的正半轴交于点为E，连结MD．已知点E的坐标为（0，），求四边形EOMD的面积．（用含的代数式表示） （3）延长DM交⊙M于点N，连结ON、OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得？请求出此时点P的坐标． 分析与解答 （1）∵抛物线过O(0，0)、A（1，－3）、B（－1，5）三点， ∴，解得，∴抛物线的解析式为． （2）抛物线与轴的另一个交点坐标为C（4，0），连结EM．∴⊙M的半径是2，即OM＝DM＝2．∵ED、EO都是的切线，∴EO＝ED．∴△EOM≌△EDM．∴ （3）设D点的坐标为（，），则．当时，即，，故ED∥轴，又∵ED为切线，∴D点的坐标为（2，3），∵点P在直线ED上，故设点P的坐标为（，2），又P在抛物线上，∴．∴．∴或为所求 图9 例11（上海市）如图9，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，，． （1）若的面积为4，求点的坐标；
（2）求证：；
（3）当时，求直线的函数解析式． （1） 解：函数，是常数）图象经过， ． 设交于点，据题意，可得点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为， ，，． 由的面积为4，即， 得，点的坐标为． （2）证明：据题意，点的坐标为，， ，易得，， ，． ． ． （3）解：，当时，有两种情况：
①当时，四边形是平行四边形， 由（2）得，，，得． 点的坐标是（2，2）． 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入， 得解得 直线的函数解析式是． ②当与所在直线不平行时，四边形是等腰梯形， 则，，点的坐标是（4，1）． 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入， 得解得 直线的函数解析式是． 综上所述，所求直线的函数解析式是或． 例12．（资阳）如图10，已知抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x … －3 －2 1 2 … y … － －4 － 0 … 图10 （1） 求A、B、C三点的坐标；
（2） 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
（3） 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围． 若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述（2）、（3）小题换为下列问题解答(已知条件及第（1）小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：
（2） 若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积． 解：⑴ 解法一：设， 任取x，y的三组值代入，求出解析式， 令y＝0，求出；
令x＝0，得y＝－4， ∴ A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4) ． 解法二：由抛物线P过点(1，－)，(－3，)可知， 抛物线P的对称轴方程为x＝－1， 又∵ 抛物线P过(2，0)、(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知， 点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4) ． ⑵ 由题意，，而AO＝2，OC＝4，AD＝2－m，故DG＝4－2m， 又 ，EF＝DG，得BE＝4－2m，∴ DE＝3m， ∴SDEFG＝DG·DE＝(4－2m) 3m＝12m－6m2 (0＜m＜2) ． ⑶ ∵SDEFG＝12m－6m2 (0＜m＜2)，∴m＝1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 ． 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，－2)，F(－2，－2)，E(－2，0)， 设直线DF的解析式为y＝kx＋b，易知，k＝，b＝－，∴， 又可求得抛物线P的解析式为：， 令＝，可求出x＝. 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有 ＝＝， 点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是 k≠且k＞0． 若选择另一问题：
⑵ ∵，而AD＝1，AO＝2，OC＝4，则DG＝2， 又∵， 而AB＝6，CP＝2，OC＝4，则FG＝3， ∴SDEFG＝DG·FG＝6． 例13．（北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点分别在上， 设相交于点，若，． 请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形 是等对边四边形；
（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论． 解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）． （2）答：与相等的角是（或）． 四边形是等对边四边形． （3）答：此时存在等对边四边形，是四边形． 证法一：如图1，作于点，作交延长线于点． 图1 因为，为公共边， 所以． 所以． 因为， ， 所以． 可证． 所以． 所以四边形是等边四边形． 证法二：如图2，以为顶点作，交于点． 图2 因为，为公共边， 所以． 所以，． 所以． 因为， ， 所以． 所以． 所以． 所以． 所以四边形是等边四边形． 说明：当时，仍成立．只有此证法，只给1分． 例14．（宁波市）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD＝PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点． （1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点． （2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)． （3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF＝∠CBE，CE＝CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点． （4）试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)． 解：（1）如图2，点P即为所画点．(答案不唯一．点P不能画在AC中点) （2）如图3，点P即为所作点．(答案不唯一) （3）连结DB， 在△DCF与△BCE中， ∠DCF＝∠BCE， ∠CDF＝∠CBE， ∠ CF＝CE． ∴△DCF≌△BCE(AAS)， ∴CD＝CB， ∴∠CDB＝∠CBD． ∴∠PDB＝∠PBD， ∴PD＝PB， ∵PA≠PC ∴点P是四边形ABCD的准等距点． （4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；
②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；
③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；
④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个． 例15．(南充市) 如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线过点A和B，与y轴交于点C． （1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象． （2）点Q（8，m）在抛物线上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ＋PB的最小值． （3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式． C A M B x y O D E 解：（1）由已知，得 A（2，0），B（6，0）， ∵ 抛物线过点A和B，则 解得 则抛物线的解析式为 ． 故 C（0，2）． （说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）如图①，抛物线对称轴l是 x＝4． ∵ Q（8，m）抛物线上，∴ m＝2． 过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK＝2，AK＝6， ∴ AQ＝． 又∵ B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称， ∴ PQ＋PB的最小值＝AQ＝． C A M B x y O D E Q P K 图① l C A M B x y O D E 图② （3）如图②，连结EM和CM． 由已知，得 EM＝OC＝2． CE是⊙M的切线，∴ ∠DEM＝90º，则 ∠DEM＝∠DOC． 又∵ ∠ODC＝∠EDM． 故 △DEM≌△DOC． ∴ OD＝DE，CD＝MD． 又在△ODE和△MDC中，∠ODE＝∠MDC，∠DOE＝∠DEO＝∠DCM＝∠DMC． 则 OE∥CM． 设CM所在直线的解析式为y＝kx＋b，CM过点C（0，2），M（4，0）， ∴ 解得 直线CM的解析式为． 又∵ 直线OE过原点O，且OE∥CM， 则 OE的解析式为 y＝x．